Find the indefinite integral. (use c for the constant of integration.) sin xcos5 x dx

Answer:[tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{cos(4x)}{8} - \frac{cos(6x)}{12} + C[/tex]General Formulas and Concepts:Algebra ITerms/CoefficientsExpanding/FactoringPre-CalculusTrigonometric IdentitiesProduct-to-Sum Formula:                                                                             [tex]\displaystyle sin(x)cos(y) = \frac{sin(y + x) - sin(y - x)}{2}[/tex]CalculusDifferentiationDerivativesDerivative NotationDerivative Property [Multiplied Constant]:                                                           [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)[/tex]Basic Power Rule:f(x) = cxⁿf’(x) = c·nxⁿ⁻¹IntegrationIntegrals[Indefinite Integrals] Integration Constant CIntegration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]U-SubstitutionStep-by-step explanation:Step 1: DefineIdentify[tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx[/tex]Step 2: Integrate Pt. 1[Integrand] Rewrite [Product-to-Sum Formula]:                                           [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \int {\frac{sin(6x) - sin(4x)}{6}} \, dx[/tex][Integrand] Rewrite:                                                                                      [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \int {\Big( \frac{sin(6x)}{2} - \frac{sin(4x)}{2} \Big)} \, dx[/tex][Integral] Rewrite [Integration Property - Addition/Subtraction]:               [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \int {\frac{sin(6x)}{2}} \, dx - \int {\frac{sin(4x)}{2}} \, dx[/tex][Integrals] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:               [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2}\int {sin(6x)} \, dx - \frac{1}{2}\int {sin(4x)} \, dx[/tex]Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2} \bigg[ \int {sin(6x)} \, dx - \int {sin(4x)} \, dx \bigg][/tex]Step 3: integrate Pt. 2Identify variables for u-substitution.Integral 1:Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = 6x[/tex][u] Differentiate [Basic Power Rule, Multiplied Constant]:                         [tex]\displaystyle du = 6 \ dx[/tex]Integral 2:Set z:                                                                                                               [tex]\displaystyle z = 4x[/tex][z] Differentiate [Basic Power Rule, Multiplied Constant]:                           [tex]\displaystyle dz = 4 \ dx[/tex]Step 4: Integrate Pt. 3[Integrals] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:               [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{1}{6}\int {6sin(6x)} \, dx - \frac{1}{4}\int {4sin(4x)} \, dx \bigg][/tex][Integrals] U-Substitution:                                                                            [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{1}{6}\int {sin(u)} \, du - \frac{1}{4}\int {sin(z)} \, dz \bigg][/tex][Integrals] Trigonometric Integration:                                                           [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{1}{6}[-cos(u)] - \frac{1}{4}[-cos(z)] \bigg] + C[/tex]Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{1}{2} \bigg[ \frac{cos(z)}{4} - \frac{cos(u)}{6} \bigg] + C[/tex]Expand:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{cos(z)}{8} - \frac{cos(u)}{12} + C[/tex]Back-Substitute:                                                                                            [tex]\displaystyle \int {sin(x)cos(5x)} \, dx = \frac{cos(4x)}{8} - \frac{cos(6x)}{12} + C[/tex]Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)Unit:  Integration